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已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的函数,若对于任意x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并用单调性定义证明你的结论;
(3)设f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
(1)令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0
令y=-x,则f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数.(4分)
(2)函数f(x)在[-1,1]上是增函数.(6分)
设x1,x2∈[-1,1]且x1<x则x2-x1>0
∴f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1
又∵x>0,f(x)>0∴f(x2-x1)>0
∴f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)<0即f(x1)<f(x2
故由函数单调性定义可知,函数f(x)在[-1,1]上是增函数.(10分)
(3)设f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立.
则必须(1-2a)m+2>1,?a∈[-1,1]恒成立;
即-2ma+m+1>0,?a∈[-1,1]恒成立
令g(a)=-2ma+m+1必须
g(-1)>0
g(1)>0
-2m(-1)+m+1>0
-2m+m+1>0

解得-
1
3
<m<1
故实数m的取值范围为-
1
3
<m<1.(14分)
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已知函数f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2

(1)计算:[f(1)]2-[g(1)]2
(2)证明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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精英家教网已知函数f(x)=x+
a
x
的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+
2
2
.设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N.
(1)求a的值.
(2)问:|PM|•|PN|是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.
(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

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已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)图象上的两点,横坐标为
1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
(O为坐标原点).
(Ⅰ)求证:y1+y2为定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.

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已知函数f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上的两点,且x1+x2=1.
(1)求证:y1+y2为定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn
(3)在(2)的条件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn为数列{an}的前n项和.求Tn

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已知函数f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直线y=m与两个相邻函数的交点为A,B,若m变化时,AB的长度是一个定值,则AB的值是(  )

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