Question

设函数。
（1）求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）斜率为的直线与曲线交于,两点，求证：。

Answer 1

（1）．（2）当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．（3）构造函数利用函数的单调性证明不等式

试题分析：（1）f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．
∵当时，f'（x）＜0；当时，
f'（x）＞0，
∴当时，．                 4分
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．    8分
（3）．
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，
故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，
故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．                 12分
点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点