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已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若函数上无零点,求的最小值。
(1) 的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(2函数上无零点,则的最小值为.

试题分析:(1)当时, (),则.    2分
;由.                4分
的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).        5分
(2)要使函数上无零点,只要对任意,无解.
即对无解.       7分
,则,  9分
再令,则.  11分
为减函数,于是
从而,于是上为增函数,
所以,                 13分
故要使无解,只要.
综上可知,若函数上无零点,则的最小值为.   14分
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。采用“表解法”,更加清晰明了。涉及函数零点的讨论问题,往往要转化成研究函数图象的大致形态,明确图象与x轴交点情况。本题涉及对数函数,要注意函数的定义域。
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