试题分析:(1)由已知得x>0且
.
当k是奇数时,
,则f(x)在(0,+
)上是增函数;
当k是偶数时,则
.
所以当x
时,
,当x
时,
.
故当k是偶数时,f (x)在
上是减函数,在
上是增函数.…………4分
(2)若
,则
.
记
,
若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解; 令
,得
.因为
,所以
(舍去),
. 当
时,
,
在
是单调递减函数;
当
时,
,
在
上是单调递增函数.
当x=x
2时,
,
. 因为
有唯一解,所以
.
则
即
设函数
,
因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x) = 0至多有一解.
因为h (1) = 0,所以方程(*)的解为x
2 = 1,从而解得
…………10分
另解:
即
有唯一解,所以:
,令
,则
,设
,显然
是增函数且
,所以当
时
,当
时
,于是
时
有唯一的最小值,所以
,综上:
.
(3)当
时, 问题等价于证明
由导数可求
的最小值是
,当且仅当
时取到,
设
,则
,
易得
,当且仅当
时取到,
从而对一切
,都有
成立.故命题成立.…………16分
点评:难题,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,不等式恒成立问题,是导数应用的常见问题,本题因为参数的引入,增大了讨论的难度,学生易出错。不等式恒成立问题,往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得解。