Question

已知函数f(x)＝ae^x，g(x)＝lnx－lna，其中a为常数，e＝2.718…，且函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相平行．
(1)求常数a的值；(2)若存在x使不等式>成立，求实数m的取值范围；
(3)对于函数y＝f(x)和y＝g(x)公共定义域内的任意实数x₀，我们把|f(x₀)－g(x₀)|的值称为两函数在x₀处的偏差．求证：函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

Answer 1

(1) a＝1.(2) (－∞，0)．（3）详见解析.

试题分析：（1）求出交点，切线平行即导数值相等可解；（2）转化为新函数，求出导数，利用单调性极值解；（3）构造新函数求导，利用单调性证明.
试题解析：(1)f(x)与坐标轴的交点为(0，a)，f′(0)＝a，g(x)与坐标轴的交点为(a,0)，g′(a)＝.
∴a＝，得a＝±1，又a>0，故a＝1.
(2>可化为m<x－e^x.令h(x)＝x－e^x，则h′(x)＝1－()e^x.
∵x>0，∴＋≥，e^x>1(＋)e^x>1.故h′(x)<0.
∴h(x)在(0，＋∞)上是减函数，因此h(x)<h(0)＝0.    ∴实数m的取值范围是(－∞，0)．
(3)y＝f(x)与y＝g(x)的公共定义域为(0，＋∞)，|f(x)－g(x)|＝|e^x－lnx|＝e^x－lnx.
令h(x)＝e^x－x－1，则h′(x)＝e^x－1>0.∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故h(x)>h(0)＝0，即e^x－1>x.　　　①
令m(x)＝lnx－x＋1，则m′(x)＝－1.
当x>1时，m′(x)<0，当0<x<1时，m′(x)>0.∴m(x)有最大值m(1)＝0，因此lnx＋1<x.　　②
由①②，得e^x－1>lnx＋1，即e^x－lnx>2.   
∴函数y＝f(x)和y＝g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.