Question

已知函数f（x）=alnx+bx²（a∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）已知f（x）≤kx在（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：

1

ln2

+

1

ln3

+

1

ln4

+…+

1

lnn

＞

1

2

（n≥2，n∈N₊）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,数列的求和

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，由f'（1）=-1，f（1）=-1写出a，b的方程，求出a，b的值；
（2）应用分离参数法，得到k≥

lnx-x2

x

在（0，+∞）恒成立，构造函数t（x）=

lnx-x2

x

，求出在（0，+∞）的最大值，只要k不小于最大值即可；
（3）由（2）知当k=-1时，lnx≤x²-x在（0，+∞）恒成立，仅在x=1取等号，则

1

lnn

＞

1

n2-n

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，再应用累加法，即可证得．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx+bx²在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=0
∴f′(x)=

a

x

+2bx，f'（1）=-1，f（1）=-1
即

a+2b=-1 0+b=-1

∴a=1，b=-1；
（2）∵f（x）=lnx-x²≤kx在（0，+∞）恒成立，
∴k≥

lnx-x2

x

，
设t(x)=

lnx-x2

x

=

lnx

x

-x
∵t′(x)=

1-1nx-x2

x2

∴x∈（0，1）时t'（x）＞0；x∈（1，+∞）时t'（x）＜0；
即t（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；
∴t（x）≤t（x）_max=t（1）=-1
∴k≥-1；
（3）证明：由（2）知当k=-1时f（x）=lnx-x²≤-x在（0，+∞）恒成立，
∴lnx≤x²-x在（0，+∞）恒成立，仅在x=1取等号，
∴n≥2，n∈N₊时1nn＜n²-n恒成立，
∴

1

lnn

＞

1

n2-n

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴当n≥2，n∈N₊时，

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

≥

1

2

∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

1

2

．

点评：本题主要考查导数在函数中的运用：求切线方程，求单调区间和极值、最值，考查转化思想，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，是一道综合题．