Question

如图，在几何体ABC-A₁B₁C₁中，点A₁、B₁、C₁在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA₁=BB₁=4，AB=BC=CC₁=2，E为AB₁的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC₁-C的大小：
（Ⅲ）设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB₁C₁，求线段BM的长．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能证明CE∥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）分别求出平面AB₁C₁的法向量和平面ACC₁的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AC₁-C的平面角．
（Ⅲ）设点M的坐标为（a，b，0），由EM⊥平面AB₁C₁，利用向量法求出M（-3，-2，0），由此能求出线段BM的长．

解答： （Ⅰ）证明：∵点B₁在平面ABC内的正投影为B，
∴B₁B⊥BA，B₁B⊥BC，
又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系B-xyz，
由题意知B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
A₁（2，0，4），B₁（0，0，4），C₁（0，2，2），E（1，0，2），
设平面A₁B₁C₁的法向量

n

=（x，y，z），
∵

A1B1

=(-2，0，0)，

B1C1

=(0，2，-2)，
∴

n • A1B1 =-2x=0 n • B1C1 =2y-2z=0

，
取y=1，得

n

=(0，1，1)，
又

CE

=(1，-2，2)，
∵

CE

•

n

=0，∴

CE

⊥

n

，
∴CE∥平面A₁B₁C₁．
（Ⅱ）解：设平面AB₁C₁的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
∵

B1A

=(2，0，-4)，

B1C1

=(0，2，-2)，
∴

m • B1A =2x1-4y1=0 m • B1C1 =2y1-2z1=0

，
取y₁=1，得

m

=（2，1，1），
设平面ACC₁的法向量

p

=(x2，y2，z2)，
∵

AC

=(-2，2，0)，

AC1

=(-2，2，2)，
∴

p • AC =-2x2+2y2=0 p • AC1 =-2x2+2y2+2z2=0

，
取x₂=1，得

p

=(1，1，0)，
∴cos＜

m

，

p

＞=

2+1+0

6 • 2

=

3

2

，
由图知二面角B₁-AC₁-C的平面角是钝角，
∴二面角B₁-AC₁-C的平面角是

5π

6

．
（Ⅲ）解：设点M的坐标为（a，b，0），
则

EM

=(a-1，b，-2)，由EM⊥平面AB₁C₁，
得

EM • B1A =2(a-1)+8=0 EM • B1C1 =2b+4=0

，
解得a=-3，b=-2，
∴M（-3，-2，0），∴|

BM

|=

9+4

=

13

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．