Question

设等差数列{a_n}的公差为d，S_n是{a_n}中从第2^n-1项开始的连续2^n-1项的和，即：
S₁=a₁，
S₂=a₂+a₃，
S₃=a₄+a₅+a₆+a₇，
…
S_n=a 2n-1+a 2n-1+1+…+a 2n-1，
…
（1）当a₁=3，d=2时，求S₄
（2）若S₁，S₂，S₃成等比数列，问：数列{S_n}是否成等比数列？请说明你的理由．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）求出a_n=2n+1，再求S₄
（2）根据S₁，S₂，S₃成等比数列，求出d=0或a₁=

3

2

d，再分别判断数列{S_n}是否成等比数列

解答： 解：（1）当a₁=3，d=2时，a_n=2n+1，
∵S_n=a 2n-1+a 2n-1+1+…+a 2n-1，
∴S₄=a₈+a₉+…+a₁₅=

8(17+31)

2

=192；
（2）∵S₁，S₂，S₃成等比数列，
∴S₁=a₁≠0，S₁S₃=S₂²，
∴a₁（4a₁+18d）=（2a₁+3d）²，
∴d=0或a₁=

3

2

d．
d=0时，

Sn+1

Sn

=2，数列{S_n}成等比数列；
a₁=

3

2

d时，S_n=a 2n-1+a 2n-1+1+…+a 2n-1=2^n-1a 2n-1+

2n-1(2n-1-1)

2

d=

3

2

d•4n-1≠0，
∴

Sn+1

Sn

=4，数列{S_n}成等比数列．

点评：本题考查等比数列的性质，考查等比数列的判断，正确求和是关键．