Question

证明：f（x）=x+

1

x-2

在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数单调性的定义证明．

解答： 证明：设任意的x₁，x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(x1+

1

x1-2

)-(x2-

1

x2+2

)=（x₁-x₂）•

(x1-2)(x2-2)-1

(x1-2)(x2-2)

∵x₁，x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁-2＞1，x₂-2＞1，（x₁-2）（x₂-2）＞1，
∴（x₁-x₂）•

(x1-2)(x2-2)-1

(x1-2)(x2-2)

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=x+

1

x-2

在（3，+∞）上是增函数．
同理可证，f（x）=x+

1

x-2

在（2，3]上是减函数．

点评：本题主要考查学生运用定义证明函数单调性的能力，属基础题．