Question

已知函数，，

（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；

（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；

（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，

若，，则在上单调递减，不符题意。

故，要使在上单调递增，必须满足 ，∴ 。  （4分）

（Ⅱ）若，，则无最大值，故，

∴为二次函数，

要使有最大值，必须满足，即且，

此时，时，有最大值。

       又取最小值时，，依题意，有，

       则，

∵且，∴，得，此时或。

∴满足条件的实数对是。   （9分）

（Ⅲ）当实数对是时，         （14分）

依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。

如对，，

此时，，

       故