Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，记an=lg

xn+2

xn-2

，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
由此可知x_n²+4=2x_nx_n+1．所以xn+1=

xn

2

+

2

xn

．

（Ⅱ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

．
故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2．由此入手能够导出xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

．

（Ⅲ）由题设知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，所以

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

，由此可知T_n＜3（n∈N*）．

解答：解：（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
显然x_n≠0，∴xn+1=

xn

2

+

2

xn

．

（Ⅱ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

xn

2

+

2

xn

+2=

(xn+2)2

2xn

，
同理xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

，故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2．
从而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n．所以，数列{a_n}成等比数列．
故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2n-1lg3．
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3．
从而

xn+2

xn-2

=32n-1
所以xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

，
∴bn=xn-2=

4

32n-1-1

＞0
∴

bn+1

bn

=

32n-1-1

32n-1

=

1

32n-1+1

＜

1

32n-1

≤

1

321-1

=

1

3

当n=1时，显然T₁=b₁=2＜3．
当n＞1时，bn＜

1

3

bn-1＜(

1

3

)2bn-2＜＜(

1

3

)n-1b1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜b1+

1

3

b1+…+(

1

3

)n-1b1=

b1[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=3-3•(

1

3

)n＜3．
综上，T_n＜3（n∈N*）．

点评：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．