Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，BA⊥平面PAD，AP=AD，DC∥AB，DC=2AB，E是棱
PD的中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PC中点F，连结BF，EF．由三角线中位线定理得四边形ABFE为平行四边形，由此能证明AE∥平面PBC．
（2）由等腰三角形性质得AE⊥PD．由AB⊥平面PAD，DC∥AB，得DC⊥AE．从而推导出BF⊥平面PCD．由此能证明平面PBC⊥平面PDC．

解答： 证明：（1）取PC中点F，连结BF，EF． 
因为点E、F分别为棱PD、PC的中点，
所以EF∥DC，且EF=

1

2

DC． 
又AB∥DC，且AB=

1

2

DC，所以EF∥AB，且EF=AB．
于是，四边形ABFE为平行四边形，故有AE∥BF．
又因为AE不包含于平面PBC，BF?平面PBC，
所以AE∥平面PBC．…（6分）
（2）在△PAD中，因为AP=AD，且E为PD的中点，
所以AE⊥PD．因为AB⊥平面PAD，DC∥AB，
所以DC⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以DC⊥AE．
因为AE⊥PD，DC⊥AE，PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以AE⊥平面PCD．又BF∥AE，所以BF⊥平面PCD．
又因为BF?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．