Question

10．数列{a_n}满足a_n+1=a_n+1，且2a₁，a₃+1，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a₁＞0时，记b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得首项为1或-9，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=n•2ⁿ，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）由a_n+1=a_n+1，知数列{a_n}是公差为1的等差数列，
所以a₃+1=a₁+3，a₈=a₁+7，
依题意知（a₁+3）²=2a₁（a₁+7），即a₁²+8a₁-9=0，
解得a₁=1或a₁=-9，
当a₁=1时，a_n=n；
当a₁=-9时，a_n=-10+n；
（2）由（1）知a_n=n，所以b_n=n•2ⁿ，
S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2S_n=4+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．