Question

11．已知直线l₁：kx-y+4=0与直线l₂：x+ky-3=0（k≠0）分别过定点A、B，又l₁、l₂相交于点M，则|MA|•|MB|的最大值为$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有MA⊥MB；再利用基本不等式放缩即可得出|MA|•|MB|的最大值．

解答 解：由题意可知，直线l₁：kx-y+4=0经过定点A（0，4），
直线l₂：x+ky-3=0经过点定点B（3，0），
注意到kx-y+4=0和直线l₂：x+ky-3=0始终垂直，M又是两条直线的交点，
则有MA⊥MB，∴|MA|²+|MB|²=|AB|²=25．
故|MA|•|MB|≤$\frac{25}{2}$（当且仅当|MA|=|MB|=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$时取“=”）
故答案为：$\frac{25}{2}$．

点评 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|MA|²+|MB|²是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．