Question

【题目】设，函数，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）证明：当时，在区间内恒成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得，分别求导得（Ⅱ）由于，所以根据导函数是否变号进行讨论：当时，，在定义域内单调递增，当时，先增后减再增（Ⅲ）证明不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即证的最小值大于零，利用导数研究函数单调性：时，在区间内单调递减，从而

试题解析：（Ⅰ），

由，得.……………………………………2分

（Ⅱ），

当时，即时，，从而函数在定义域内单调递增，

当时，，此时

若，，则函数单调递增；

若，，则函数单调递减；

若时，，则函数单调递增.……………………6分

（Ⅲ）令，则.

，令，则.

当时，，

又当时，，从而单调递减；

所以.

故当时，单调递增；

又因为，故当时，，

从而函数在区间单调递减；

又因为

所以在区间恒成立.…………14分