【题目】已知点,点在轴上,点在轴的正半轴上,点在直线上,且满足
(Ⅰ)当点在轴上移动时,求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点做直线与轨迹交于两点,若在轴上存在一点,使得是以点为直角顶点的直角三角形,求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(Ⅰ)本问考查求轨迹方程,设动点,由于点在轴上,点在轴的正半轴上,于是可以根据条件表示出,再根据,坐标表示后整理可求出N点的轨迹方程,注意曲线上点坐标的取值范围;(Ⅱ)本问考查直线与抛物线位置关系,由题分析,直线的斜率显然存在且不为0,于是可设方程为,与曲线C的方程联立,消去未知数x,得到关于y的一元二次方程,设,于是得出, ,根据弦长公式求出,若在轴上存在一点,使得是以为直角顶点的直角三角形,则点到轴的距离不大于,转化为关于的不等式,可以求出取值范围.
试题解析:(Ⅰ)设点,由,得,
由得,所以
又因为点在轴的正半轴上,所以,所以
(Ⅱ)设直线
得直线的方程代入,得,①
又是方程①的两个不相等的实根,
由,解得 ②
线段的中点的坐标为
在轴上存在一点,使得是以为直角顶点的直角三角形,
点到轴的距离不大于,即
化简,得,解得
结合②得直线的斜率的取值范围为.
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图.
(1)已知、,三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求,的值;
(2)该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放80元的代金券,已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人,现在要在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望.
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【题目】已知向量 , ,函数的图象过点,点与其相邻的最高点的距离为.
(1)求的单调递增区间;
(2)计算;
(3)设函数,试讨论函数在区间上的零点个数.
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【题目】设,函数,(为自然对数的底数),且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)证明:当时,在区间内恒成立.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线,以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍后得到曲线.试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程:
(2)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组,…,第五组,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计这50名学生百米测试成绩的平均值;
(2)若从第一组、第五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆和抛物线交于两点,且直线恰好通过椭圆的右焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)经过椭圆右焦点的直线和椭圆交于两点,点在椭圆上,且,
其中为坐标原点,求直线的斜率.
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