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    【题目】在公差不为零的等差数列中，已知，且成等比数列．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设数列的前项和为，记，求数列的前项和．

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    试题分析：（1）求等差数列通项公式，基本方法为待定系数法，即根据条件列两个关于首项与公差的方程：，注意公差不为零，解得，代入通项公式得（2）先根据等差数列求和公式得，因此代入化简数列通项公式 ，所以利用裂项相消法求和，即，

    试题解析：①设的公差为，依题意得，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

    解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

    ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

    ②，

    ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

    ，故．．．．．．12分

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    【题目】已知函数.

    （1）当时，证明： 为偶函数；

    （2）若在上单调递增，求实数的取值范围；

    （3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.

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    （Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图：

    （Ⅱ）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；

    （Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品吨，预测需要销售天数；

    参考公式和数据：

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    【题目】如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．

    （1）求证：；

    （2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．

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    【题目】已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足

    （Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；

    （Ⅱ）过点做直线与轨迹交于两点，若在轴上存在一点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，求直线的斜率的取值范围.

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    【题目】已知数列的前项和为，且满足：

    （Ⅰ）求数列的通项公式；

    （Ⅱ）若存在，使得 成等差数列，试判断：对于任意的，且是否成等差数列，并证明你的结论.

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    【题目】某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为的药剂后，经过天该药剂在水中释放的浓度（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.

    （Ⅰ）如果投放的药剂质量为，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

    （Ⅱ）如果投放的药剂质量为，为了使在9天（从投放药剂算起包括9天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量的最小值.

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    【题目】已知函数

    （1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围

    （2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

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    【题目】已知函数（）．

    （1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

    （2）求函数在区间上的最大值；

    （3）若函数有两个不同的零点，，求证：．

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