【题目】已知函数.
(1)当时,证明: 为偶函数;
(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围,使在上恒成立.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】试题分析:(1)代入,根据函数奇偶性的定义,即可判定为偶函数;
(2)利用函数单调性的定义,求得函数在上单调递增,进而得到对任意的恒成立,即可求解实数的取值范围;
(3)由(1)、(2)知函数的最小值,进而得,设,得不等式恒成立,等价于,进而恒成立,利用二次函数的性质即可求解实数的取值范围.
试题解析:
(1)当时, ,定义域关于原点对称,
而,说明为偶函数;
(2)在上任取、,且,
则,
因为,函数为增函数,得, ,
而在上单调递增,得, ,
于是必须恒成立,
即对任意的恒成立,
;
(3)由(1)、(2)知函数在上递减,在上递增,
其最小值,
且,
设,则,
于是不等式恒成立,等价于,
即恒成立,
而,仅当,即时取最大值,
故
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【题目】函数.
(1)若函数在上为增函数,求的取值范围;
(2)若函数在上不单调时;
①记在上的最大值、最小值分别为,求;
②设,若,对恒成立,求的取值范围.
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【题目】已知方程.
(1)求该方程表示一条直线的条件;
(2)当为何实数时,方程表示的直线斜率不存在?求出这时的直线方程;
(3)已知方程表示的直线在轴上的截距为-3,求实数的值;
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°,求实数的值.
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图.
(1)已知、,三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求,的值;
(2)该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放80元的代金券,已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人,现在要在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望.
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【题目】设函数是定义在上的函数,并且满足下面三个条件:①对任意正数,都有;②当时, ;③.
(1)求, 的值;
(2)证明在上是减函数;
(3)如果不等式成立,求的取值范围.
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的位上网购物者的年龄情况如右图.
(1)已知、、三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求的值;
(2)该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放元的代金券,潜在消费人群每人发放元的代金券.已经采用分层抽样的方式从参与调查的位上网购物者中抽取了人,现在要在这人中随机抽取人进行回访,求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望.
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