Question

【题目】某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）。经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元。设余下工程的总费用为万元。

（I）试将表示成关于的函数；

（II）需要修建多少个増压站才能使总费用最小？

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）5个

【解析】

(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，即可求得余下工程的总费用，得到函数的解析式；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，求得，令，解得，

得出函数的单调性与最值，即可求解．

(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，

故余下工程的总费用为，

所以将表示成关于的函数 ，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，有，

令，解得，

随的变化情况如下表：

		20
		极小

由上表易知，函数在时取得最小值，此时，

故需要修建5个増压站才能使总费用最小．