Question

8．已知AD、BE分别是△ABC的中线，若AD=BE=1，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$，则$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BE}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE}$表示出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$，代入$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$得出$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$，即可求得夹角．

解答 解：∵AD、BE分别是△ABC的中线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}}\\{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}}\end{array}\right.$，又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}}\\{\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BE}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$．
∴且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$）•（$\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$）=$\frac{8}{9}{\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{4}{9}{\overrightarrow{BE}}^{2}$-$\frac{4}{9}$$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵${\overrightarrow{AD}}^{2}={\overrightarrow{BE}}^{2}=1$，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BE}|}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BE}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于中档题．