Question

已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求出所有的正整数，使得．

Answer 1

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）首先根据条件前项成等差数列可以将，用公差的代数式表示，再由条件从第项起依次成等比数列可以得到关于公差的方程：，从而解得或（舍去），即可得数列的通项公式为；（2）考虑到（1）中求得数列的分段性，因此首先可验证或时符合题意，或时不合题意，接下来只需说明当，条件给出的方程无解即可：，

若，则，∴，而这是不可能成立的，从而得证.

试题解析：（1）设数列前项的公差为，则，(为整数)

又∵，，成等比数列，∴，即，得或（舍去）， 4 分

当 时，， 6 分 ∴，，数列从第项起构成的等比数列的公比为，

∴当时，，故， 8分

（2）由（1）知，当时等式成立，即，

当时等式成立，即， 10分 当或时等式不成立， 12分

当时，，

若，则，∴， 14分

，，从而方程无解，∴ .

故所求或． 16分

考点：1.等差等比数列的通项公式与性质；2.数列与方程不等式相结合.