Question

已知集合A={x|x²-x+2m+6=0，x∈R}，B={x|x（x²+x+1）＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：B={x|x（x²+x+1）＜0，x∈R}={x|x＜0}，方程x²-x+2m+6=0必须要有实根，由△=（-2）²-4（2m+6）≥0，得m≤-2.5，方程的两个根异号得到m＜-3，由此能求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵集合A={x|x²-x+2m+6=0，x∈R}，
B={x|x（x²+x+1）＜0，x∈R}={x|x[（x+

1

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）²+

3

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）＜0}={x|x＜0}，A∩B=∅，
方程x²-x+2m+6=0必须要有实根，
∴△=（-2）²-4（2m+6）≥0，得m≤-2.5，
方程的两个根x₁，x₂有下面的关系
x₁+x₂=1，①
x₁x₂=2m+6，②
x₁，x₂肯定会有一个小于0的值，但是在这里x₁+x₂=1，说明两根异号
∴2m+6＜0
得到m＜-3．
∴实数m的取值范围是（-∞，-3）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．