Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，点（1，

3

4

a）在椭圆上．直线x+y-m=0与椭圆恰有一个公共点．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，P为椭圆上的动点，作正方形OPMN（O，P，M，N按顺时针方向排列），求动点N的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先求出椭圆方程，再利用直线x+y-m=0与椭圆恰有一个公共点，根据判别式为0，即可求m的值；
（Ⅱ）设P（2cosθ，

3

sinθ），N（x，y），则

OP

=（2cosθ，

3

sinθ），

ON

=（x，y），可得

2xcosθ+ 3 ysinθ=0 4cos2θ+3sin2θ=x2+y2

，消去参数，即可求动点N的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，点（1，

3

4

a）在椭圆上．
∴

1 a2 + 9a2 16b2 =1 c a = 1 2

，
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
直线方程代入椭圆方程，可得7x²-8mx+4m²-12=0，
∴△=64m²-28（4m²-12）=0，
∴m=±

7

；
（Ⅱ）设P（2cosθ，

3

sinθ），N（x，y），则

OP

=（2cosθ，

3

sinθ），

ON

=（x，y），
∴

2xcosθ+ 3 ysinθ=0 4cos2θ+3sin2θ=x2+y2

，
∴

cos2θ= 3y2 4x2+3y2 cos2θ+3=x2+y2

，
∴

x2

3

+

y2

4

=1，
∴N的轨迹方程为

x2

3

+

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查参数法求轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．