Question

已知等差数列{a_n}公差不为0，且a₃=5，a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在等差数列{a_n}中，设其公差为d，（d≠0），依题意可得（5-2d）（5+2d）=（5-d）²，解之可求得d，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，可得b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n+2ⁿb_n+1=a_n+1，两式相减得：2ⁿb_n+1=2，可求得b_n，继而可求得b_n的前n项和T_n．

解答： 解：（1）在等差数列{a_n}中，设其公差为d，（d≠0），
∵a₁a₅=a22，a₃=5，∴（a₃-2d）（a₃+2d）=a22，即（5-2d）（5+2d）=（5-d）²，…2分
化简得5d²-10d=0，
∴d=2…4分
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1…7分
（2）∵b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，①
∴b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n+2ⁿb_n+1=a_n+1，②
②-①得：2ⁿb_n+1=2，
∴b_n+1=2^1-n…10分
当n=1时，b₁=a₁=1，
∴b_n=

22-n，n≥2 1，n=1

…12分
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

22-n

=1+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=3-

1

2n-2

…14分

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的性质与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于难题．