Question

已知函数f（x）=|alnx-

e

x

|+b（a、b∈R），且f（1）=e+1，f（e）=1．求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：首先根据题意，求出a，b的值，再去绝对值，根据导数求函数的单调区间．

解答： 解：∵f（x）=|alnx-

e

x

|+b（a、b∈R），且f（1）=e+1，f（e）=1，
∴e+b=e+1，且，|a-1|+b=1，
解得a=1，b=1，
∴f（x）=|lnx-

e

x

|+1，
∵lnx-

e

x

=0，
∴x=e，
当x＞e时，lnx＞

e

x

，
∴f（x）=lnx-

e

x

+1，
∴f′（x）=

1

x

+

e

x2

＞0恒成立，
∴函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，
当0＜x＜e时，lnx＜

e

x

，
∴f（x）=-lnx+

e

x

+1，
∴f′（x）=-（

1

x

+

e

x2

）＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，e）上单调递减，
综上所述，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，在（0，e）上单调递减．

点评：本题考查了利用代入法求函数解析式，考查了利用函数的导函数单调性，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．