Question

已知函数f（x）=

mx+n

1+x2

是定义在[-

1

2

，

1

2

]上的奇函数，且f（-

1

4

）=

8

17

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明函数f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数；
（3）若实数t满足f（3t）+f（

1

2

-t）＜0，求t的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），求得n=0，再根据f（-

1

4

）=

8

17

，求得m=-2，可得函数f（x）的解析式．
（2）设-

1

2

≤x1＜x2≤

1

2

，求得 f（x₁）-f（x₂）为

2(x2-x1)+2x1x2(x1-x2)

(1+x12)(1+x22)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），从而得到f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数．
（3）由题意得f(3t)＜-f(

1

2

-t)，根据f（x）是奇函数可得f(3t)＜f(t-

1

2

)．结合f（x）是定义在[-

1

2

，

1

2

]上的减函数，可得

- 1 2 ≤3t≤ 1 2 - 1 2 ≤t- 1 2 ≤ 1 2 3t＞t- 1 2

，由此求得t的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）∴

m(-x)+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，
∴m（-x）+n=-（mx+n），∴n=0，∴f(x)=

mx

1+x2

．
又∵f（-

1

4

）=

8

17

，∴

m•(- 1 4 )

1+(- 1 4 )2

=

8

17

，∴m=-2，∴f(x)=-

2x

1+x2

．
（2）设-

1

2

≤x1＜x2≤

1

2

，则f（x₁）-f（x₂）=-

2x1

1+x12

-(-

2x2

1+x22

)=

-2x1(1+x22)+2x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

-2x1-2x1x22+2x2+2x2x12

(1+x12)(1+x22)

=

2(x2-x1)+2x1x2(x1-x2)

(1+x12)(1+x22)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-

1

2

≤x1＜x2≤

1

2

，∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数．
（3）f(3t)+f(

1

2

-t)＜0可化为  f(3t)＜-f(

1

2

-t)，
∵f（x）是奇函数，∴-f(

1

2

-t)=f(t-

1

2

)，∴f(3t)＜f(t-

1

2

)．
由（2）得f（x）是定义在[-

1

2

，

1

2

]上的减函数．
∴

- 1 2 ≤3t≤ 1 2 - 1 2 ≤t- 1 2 ≤ 1 2 3t＞t- 1 2

，∴

- 1 6 ≤t≤ 1 6 0≤t≤1 t＞- 1 4

，∴0≤t≤

1

6

．

点评：本题主要考查奇函数的性质，函数的单调性的判断和证明，函数的单调性的应用，属于基础题．