Question

已知函数f（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）过点P（0，

4

e2

）作直线y=f（x）相切，求证：这样的直线l至少有两条，且这些直线的斜率之和m∈（

e2-1

e2

，

2e2-1

e2

）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导后根据正负求单调性，及极值；（Ⅱ）由导数的几何意义转化，结合图象可得结果．

解答： 解（Ⅰ）由题知f′(x)=

1-x

ex

(x∈R)，
当f'（x）＞0时，x＜1，当f'（x）＜0时，x＞1，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞），
其极大值为f(1)=

1

e

，无极小值．
（Ⅱ）设切点为（x₀，f（x₀）），则所作切线的斜率k=f′(x0)=

1-x0

ex0

，
所以直线l的方程为：y-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

(x-x0)，
注意到点P(0，

4

e2

)在l上，所以

4

e2

-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

(-x0)，
整理得：

x02

ex0

-

4

e2

=0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，
令g(x)=

x2

ex

-

4

e2

，则g′(x)=-

x(x-2)

ex

，
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g(0)=-

4

e2

＜0，g(2)=0，g(-1)=e-

4

e2

＞0，
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P(0，

4

e2

)恰好可以作两条与曲线y=f（x）相切的直线．
当x=2时，对应的切线斜率k1=f′(2)=-

1

e2

，
当x=t时，对应的切线斜率k2=

1-t

et

，
令h(t)=

1-t

et

(-1＜t＜0)，则h′(t)=

t-2

et

＜0，
所以h（t）在（-1，0）上为减函数，即1=h（0）＜h（t）＜h（-1）=2e，1＜k₂＜2e，
所以m=k1+k2∈(

e2-1

e2

，

2e3-1

e2

)．

点评：本题综合考查的导数的应用，同时考查了转化和数形结合的思想．