Question

已知函数f（x）=2（sinx-cosx）cosx+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在闭区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得它的周期．
（2）根据f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)在区间[

π

8

，

3π

8

]上为增函数，在区间[

3π

8

，

3π

4

]上为减函数，从而求得函数的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=2(sinx-cosx)cosx+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）因为f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)在区间[

π

8

，

3π

8

]上为增函数，在区间[

3π

8

，

3π

4

]上为减函数，
又f(

π

8

)=0，f(

3π

8

)=

2

，f(

3π

4

)=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1，
故函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最大值为

2

，最小值为-1．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和最值，属于基础题．