Question

已知：函数f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；
（2）设函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．（注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）令f′（x）=3x²-12x+3=0，设其两根为（x₁，x₂）（x₁＜x₂），利用韦达定理可得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，进而可求x₂-x₁，y₁-y₂，故可求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；
（2）求导函数，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，所以x³-3x²-9x+t+3=0有三个不等根，构造函数h（x）=x³-3x²-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减，从而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范围．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x²-12x+3=0，设其两根为（x₁，x₂）（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1
∴x₂-x₁=2

3

，
设两个极值点所对应的图象上两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
则y₁-y₂=（x₁³-6x₁²+3x₁+t）-（x₁³-6x₁²+3x₁+t）=12

3

，
∴函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离为

12+(12 3 )2

=2

111

（2）解：f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有三个不同的极值点
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个不等根；
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，则h′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵h（x）有三个零点
∴h（-1）＞0，h（3）＜0
∴t+8＞0，t-24＜0
∴-8＜t＜24．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调性，考查函数的极值，解题的关键是将函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，转化为x³-3x²-9x+t+3=0有三个不等根．