Question

如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点．
求证：（1）A₁B∥平面AC₁D；
（2）平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结A₁C交AC₁于点E，连结DE，连结ED，由已知条件推导出A₁B∥ED，由此能证明A₁B∥平面AC₁D．
（2）由已知和得BD₁∥C₁D，A₁D₁∥AD，从而BD₁∥平面AC₁D，A₁D₁∥平面AC₁D．由此能证明平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

解答： （1）证明：如图，连结A₁C交AC₁于点E，连结DE，
∵四边形A₁ACC₁是平行四边形，
∴E是A₁C的中点．连结ED，
∵A₁B∥平面AC₁D，平面A₁BC∩平面AC₁D=ED，
∴A₁B∥ED．
∵A₁B不包含于平面AC₁D，ED?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）证明：∵E是A₁C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D₁是B₁C₁的中点，∴BD₁∥C₁D，A₁D₁∥AD，
∴BD₁∥平面AC₁D，A₁D₁∥平面AC₁D．
又A₁D₁∩BD₁=D₁，∴平面A₁BD₁∥平面AC₁D．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．