Question

已知函数f（x）=log_a（3+x）-log_a（3-x）（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）当x∈[

1

3

，

1

2

]时，f（x）最大值为1，求实数a的值．

Answer 1

考点：对数的运算性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得

3+x＞0 3-x＜0

，能求出函数f（x）的定义域．
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，f（-x）=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），从而证明f（x）是奇函数．
（3）当x∈[

1

3

，

1

2

]时，函数f（x）单调递增，由此能求出a．

解答： 解：（1）由题意得

3+x＞0 3-x＜0

，解得-3＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域是{x|-3＜x＜3}．
（2）由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
∵f（x）=loga

3+x

3-x

，
∴f（-x）=loga

3-x

3+x

=-loga

3+x

3-x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）当x∈[

1

3

，

1

2

]时，函数f（x）单调递增，
∴f(x)max=f(

1

2

)=loga

7

5

=1，
解得a=

7

5

．

点评：本题考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判断，考查实数值的求法，解题时要注意对数函数性质的合理运用．