Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B₁B上，且满足B₁E=2EB．
（1）求证：D₁E⊥A₁C₁；
（2）在棱B₁C₁上确定一点F，使A、E、F、D₁四点共面，并求此时B₁F的长；
（3）求几何体ABED₁D的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结B₁D₁．由已知得A₁C₁⊥B₁D₁，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，从而DD₁⊥A₁C₁．进而A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，由此能证明D₁E⊥A₁C₁．
（Ⅱ）连结BC₁，过E作EF∥BC₁交B₁C₁于点F．由AD₁∥BC₁，得AD₁∥EF．点F为满足条件的点．由此能求出此时B₁F的长．
（Ⅲ）四边形BED₁D为直角梯形，几何体ABED₁D为四棱锥A-BED₁D．由此能求出几何体ABED₁D的体积．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：连结B₁D₁．因为四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，
所以A₁C₁⊥B₁D₁．
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥A₁C₁．
因为DD₁∩B₁D₁=D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，B₁D₁?平面BB₁D₁D，
所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
又D₁E?平面BB₁D₁D，所以D₁E⊥A₁C₁．…（4分）
（Ⅱ）解：连结BC₁，过E作EF∥BC₁交B₁C₁于点F．
因为AD₁∥BC₁，所以AD₁∥EF．
所以A、E、F、D₁四点共面．即点F为满足条件的点．
又因为B₁E=2EB，所以B₁F=2FC₁，
所以B1F=

2

3

B1C1=

4

3

．…（8分）
（Ⅲ）解：四边形BED₁D为直角梯形，
几何体ABED₁D为四棱锥A-BED₁D．
因为SBED1D=

(BE+DD1)•BD

2

=

4 2

3

，
点A到平面BED₁D的距离h=

1

2

AC=

2

，
所以几何体ABED₁D的体积为：
VA-BED1D=

1

3

SBED1Dh=

8

9

．…（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．