Question

下列函数中最小值是2的是（　　）

• A、y=x+

  1

  x

• B、y=sinθ+cosθ，θ∈（0，

  π

  2

  ）
• C、y=

  x

  +

  2

  x

• D、y=

  x2+2

  x2+1

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：A．讨论x＞0，x＜0两种情况，即可判断；B．化简函数式，y=

2

sin（θ+

π

4

）∈（1，

2

]，即可判断；
C．运用基本不等式，即可得到最小值2

2

．即可判断；
D．运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可判断．

解答： 解：A：y=x+

1

x

，当x＞0，y≥2；当x＜0，y≤-2，
由于不满足x＞0，故A错；
B：y=sinθ+cosθ，θ∈（0，

π

2

），即y=

2

sin（θ+

π

4

）∈（1，

2

]，故B错；
C：y=

x

+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

时，取最小值2

2

．故C错；
D：y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，
当且仅当x²=0，即x=0时取等号，故D正确．
故选：D．

点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值（值域），解题的关键是熟练掌握基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；若不符合正的要配凑正数的形式，解题中容易漏掉对相等条件的检验，还要注意等号不成立时要注意函数的单调性的应用．