Question

已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为

3

2

．点P（x₀，y₀）为椭圆M内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且AB∥CD．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）证明：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为

3

2

，求出几何量，即可求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

得到x₃=

(1+λ)x0-x1

λ

，y₃=

(1+λ)y0-y1

λ

，再由点C在椭圆上，即可得到（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₁+4y₀y₁）=λ²-1，又由点A在椭圆上以及AB∥CD，得到x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，又易知不与坐标轴平行，即得证．

解答： （Ⅰ）解：∵短轴长为2，离心率为

3

2

，
∴a=2，b=1，
∵焦点在x轴上，
∴椭圆M的标准方程

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），

AP

=λ

PC

，
∴x₃=

(1+λ)x0-x1

λ

，y₃=

(1+λ)y0-y1

λ

，
∵点C在椭圆上，∴

x32

4

+y32=1，
又点A在椭圆上，∴

x12

4

+y12=1，
从而可得（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₁+4y₀y₁）=λ²-1   ①
又∵AB∥CD，故有

BP

=λ

PD

．
同理可得（1+λ）²（

x02

4

+y02）-

1

2

（1+λ）（x₀x₂+y₀y₂）=λ²-1②
②-①得
x₀（x₁-x₂）+4y₀（y₁-y₂）=0，
∵P点不在坐标轴上，∴x₀≠0，y₀≠0，
又易知不与坐标轴平行，∴直线AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x0

4y0

，为定值．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．