Question

在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=3t+2 y=4t+2

（t为参数）．
（Ⅰ）若直线l与圆C相切，求实数a的值；
（Ⅱ）若直线l过点（a，a），求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）把圆C的极坐标方程、直线的参数方程分别化为直角坐标方程，再利用直线与圆相切的性质即可得出．
（II）把（a，a）代入4x-3y-2=0．解得a=2．利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线的距离d，再利用弦长公式直线l被圆C截得的弦长=2

r2-d2

即可得出．

解答： 解：（I）由圆C的方程ρ=2acosθ，可得ρ²=2ρacosθ，化为x²+y²=2ax，配方为（x-a）²+y²=a²．
直线l的参数方程为

x=3t+2 y=4t+2

（t为参数），消去参数化为4x-3y-2=0．
∵直线l与圆C相切，∴

|4a-2|

42+(-3)2

=|a|，解得a=-2或

9

2

．
（II）把（a，a）代入4x-3y-2=0．可得4a-3a-2=0，解得a=2．
此时圆的方程为（x-2）²+y²=4．
∴圆心C（2，0），半径r=2．
∴圆心C到直线的距离d=

|8-2|

42+32

=

6

5

．
∴直线l被圆C截得的弦长=2

r2-d2

=

16

5

．

点评：本题综合考查了把圆的极坐标方程、直线的参数方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．