Question

已知定义在区间（2，2]上的函数f（x）满足f（x+2）=

4

f(x)+2

，当x∈[0，2]，f（x）=x，若g（x）=f（x）-mx-m有两个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、0＜m≤

  2

  3

  或-6-4

  2

  ＜m＜0
• B、0＜m≤

  2

  3

  或m＜-6+4

  2

• C、0＜m≤

  2

  3

  或m＜-6-4

  2

• D、0＜m≤

  2

  3

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数关系式求出f（x）的表达式，根据函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可得到结论．

解答： 解：∵定义在区间（2，2]上的函数f（x）满足f（x+2）=

4

f(x)+2

，
∴f（x）+2=

4

f(x+2)

，即f（x）=

4

f(x+2)

-2，
若-2≤x≤0，则0≤x+2≤2，
∴f（x+2）=x+2，
即此时f（x）=

4

f(x+2)

-2=

4

x+2

-2=

-2x

x+2

，（-2≤x≤0），
由g（x）=f（x）-mx-m=0得f（x）=mx+m，
设g（x）=mx+m=m（x+1），则g（x）过定点（-1，0），
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
若g（x）=f（x）-mx-m有两个不同零点，
则等价为f（x）与g（x）有两个不同的交点，
由图象可知当g（x）过点A（2，2）时，满足条件，此时3m=2，
解得m=

2

3

，∴当0＜m≤

2

3

时，满足条件．
当直线g（x）与f（x）相切时，当直线在和f（x）=

-2x

x+2

，（-2≤x≤0）相切与垂直x轴之间时，也是两个交点，
此时解得m＜-6-4

2

，
综上0＜m≤

2

3

或m＜-6-4

2

，
故选：C

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，根据函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意使用数形结合的数学思想．