Question

（2012•房山区一模）设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=

1

2

，an=f(n)(n∈N*)，则数列{a_n}的前n项和的取值范围是

[

1

2

，1)

．

Answer 1

分析：依题意分别求出f（2），f（3），f（4）进而发现数列{a_n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，进而可求得S_n的取值范围．

解答：解：由题意可得，f（2）=f²（1），f（3）=f（1）f（2）=f³（1），
f（4）=f（1）f（3）=f⁴（1），a₁=f（1）=

1

2

∴f（n）=(

1

2

)n
∴Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∈[

1

2

，1）．
故答案：[

1

2

，1）

点评：本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据已知条件确定出等比数列的首项及公比