Question

1．已知函数f（x）=x²+2ax+3．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]是减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，求函数f（x）在区间[-1，5]的最大值和最小值．
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，并指出相应的单调性．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]是减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，则函数图象开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴，求出a值，可得函数f（x）在区间[-1，5]的最大值和最小值．
（Ⅱ）函数f（x）=x²+2ax+3的图象开口朝上，且以直线x=-a为对称轴，若f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，则-a≤-5，或-a≥5，进而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$]是减函数，在[$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，
故函数图象开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴，
即-a=$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x²-x+3，
在区间[-1，5]上，
当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{11}{4}$，
当x=5时，函数取最大值23．
（2）函数f（x）=x²+2ax+3的图象开口朝上，且以直线x=-a为对称轴，
若f（x）在区间[-5，5]上是单调函数，
则-a≤-5，或-a≥5，
即a≤-5，或a≥5，
当a≥5时，在[-5，5]上是增函数，
当a≤-5时，在[-5，5]上是减函数．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．