Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a₂=3，2S_n﹣（n+1）a_n=A_n+B（其中A、B是常数，n∈N*）．
（1）求A、B的值；
（2）求证数列 是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）已知k是正整数，不等式8a _n+1﹣a_n²＜k对n∈N*都成立，求k的最小值．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a₂=3，2S_n﹣（n+1）a_n=A_n+B（n∈N*），
分别取n=1和n=2，
得，
即，
解得．
（2）由（1）知，2S_n﹣（n+1）a_n=﹣n+1（n∈N*），
∴2S_n+1﹣（n+2）a_n+1=﹣n，
得2a _n+1﹣（n+2）a _n+1+（n+1）a_n=﹣1，即na _n+1﹣（n+1）a_n=1．
两边同除以n（n+1），
可化为．
数列是以为首项，公差为零的等差数列，
于是．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n﹣1（n∈N*）．
（3）由（2）知，a_n=2n﹣1（n∈N*）．
又8a _n+1﹣a_n²＜k，即8（2n+1）﹣（2n﹣1）²＜k，
进一步可化为．
当n=2或3时，﹣4的最大值为31，
因此，只要k＞31即满足要求，
又k是正整数，k的最小值为32．