【题目】设函数为定义在上的奇函数,且当时,.
(1)求函数的解析式;
(2)求实数,使得函数在区间上的值域为;
(3)若函数在区间上的值域为,则记所有满足条件的区间的并集为,设,问是否存在实数,使得集合恰含有个元素?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)根据函数为奇函数,利用求得当时的表达式,由此求得的解析式.
(2)判断出函数在时的单调性,由此得到,由求解得的值.
(3)利用,求得集合,利用分段函数的解析式,结合分离常数法,求得的取值范围.
(1)令则,由于函数为奇函数,故.所以函数的解析式为.
(2)依题意,且当时,是单调递减函数,故,即是方程的两个根,即,,由于且,故解得.
(3)由于函数在区间上的值域为,即,,所以同号.当时,,当时,,即函数在区间上单调递减,即,即是方程的两个根,或是方程的两个根,即①,或②.由①解得,由②解得,所以.当,令,得,且为单调递增函数.当,令,得,且为单调递减函数.所以在区间上,当时,和各有解,也即存在实数,使得集合恰含有个元素.
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【题目】将给定的一个数列:,,,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将作为第一组,将,作为第二组,将,,作为第三组,…,依次类推,第组有个元素(),即可得到以组为单位的序列:,,,…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第个括号称为第群,从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众,且从第个括号的左端起是第个,则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,),…,以此类推.设该数列前项和,若使得成立的最小位于第个群,则( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
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【题目】某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y与投资x成正比,其关系如图甲,B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比,其关系如图乙注:利润与投资单位为万元
分别将A,B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式;
该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元?
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【题目】已知函数,
(1) 判断的奇偶性并证明;
(2) 令
①判断在的单调性(不必说明理由);
②是否存在,使得在区间的值域为?若存在,求出此时的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)设点.若直线与曲线相交于不同的两点,,求的值.
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