Question

如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F、G分别是线段AE、BC的中点．求AD与GF所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：根据题意，建立空间直角坐标系，可得向量

AD

=（0，-2，2），

GF

=（-1，2，1），利用空间向量的夹角公式加以计算，即可得到异面直线AD与FG所成的角的余弦值．

解答： 解，分别以CB、CA、CD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，…2分
可得A（0，2，0），D（0，0，2），G（1，0，0），F（0，2，1）…4分
∴

AD

=（0，-2，2），

GF

=（-1，2，1）…6分
|

AD

|=2

2

…8分
|

GF

|=

6

…10分

AD

•

GF

=-2，COS＜

AD

，

GF

＞=

AD • GF

| AD || GF |

=-

3

6

…12分

点评：本题给出正方形所在平面与直角三角形所在平面互相垂直，求面直线AD与FG所成的角的余弦值．着重考查了面面垂直的性质和利用空间向量研究异面直线所成角大小等知识，属于中档题．