Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2

2

的正方形，其他四个侧面是侧棱长为

5

的等腰三角形，过棱PD的中点E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC，且截面EFGH分别交四棱锥各棱F、G、H．
（Ⅰ）证明：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出EH∥PC，EF∥AD，由此能证明EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，证明PO⊥平面ABCD，利用体积公式，即可求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面EFGH∥平面PBC，
平面EFGH∩平面PCD=EH，平面PBC∩平面PCD=PC，
∴EH∥PC，又E是PD的中点，∴H是CD的中点，
同理可证F，G分别是PA、AB的中点，
∴EF∥AD，又EF不包含于平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵底面ABCD是边长为2

2

的正方形，
设AC∩BD=O，则AC⊥BD，且AC=BD=4，
由侧面侧棱长为

5

的等腰三角形，知：
PO⊥AC，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，
在Rt△PAO中，PO=1，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PO=

1

3

•（2

2

）²•1=

8

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查四棱锥的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．