Question

在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC=2，BC=2

2

，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D
（Ⅱ）求点B到平面AC₁D的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于E，连DE，则E为A₁C中点，欲证A₁B∥平面AC₁D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁B∥平面AC₁D内一直线平行，而DE∥A₁B，A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D，满足定理条件；
（Ⅱ）利用等体积，可求点B到平面AC₁D的距离．

解答： （Ⅰ）证明：连接A₁C，设与AC₁交于点E，连接ED
在△A₁BC中，E为A₁C的中点，D为BC的中点
∴ED∥A₁B…（3分）
∵A₁B?平面AC₁D
ED?平面AC₁D
∴A₁B∥平面AC₁D…（5分）
（Ⅱ）解：∵A₁A⊥平面ABC
∴C₁C⊥平面ABC
在△ABC中，AB²+AC²=BC²，得∠BAC=

π

2

∵点D是BC 的 中点
∴S_△ABD=

1

2

S△ABC=1
∴VC1-ABD=

1

3

S△ABD•C1C=

2

3

…（8分）
∵VB-AC1D=VC1-ABD=

2

3

设B到平面AC₁D的距离为h，
∴

1

3

S△AC1D•h=

2

3

…（10分）
∵C₁C⊥AD，等腰△ABC中，AD⊥BC
又C₁C∩BC=C
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∴AD⊥DC₁
可求AD=

2

，C₁D=

6

，S△AC1D=

3

∴h=

2

3

3

…（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及点B到平面AC₁D的距离，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．