Question

如图，已知VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=a．
（1）求平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值；
（2）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,与二面角有关的立体几何综合题

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）求出S_△ABV=

1

2

a2，S_△ABC=

3

2

a²，即可求出平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值；
（2）利用VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=a，根据体积公式，容易得出结论．

解答： 解：（1）∵VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=a，
∴AB=BC=AC=

2

a，
∴S_△ABV=

1

2

a2，S_△ABC=

3

2

a²，
∴平面ABC和平面ABV所成的二面角的余弦值为

1 2 a2

3 2 a2

=

3

3

；
（2）三棱锥V-ABC的体积为

1

3

•

1

2

•a•a•a=

1

6

a³．

点评：本题考查二面角的平面角，考查学生的计算能力，比较基础．