Question

如图，设四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，P为DE上一点 若BE∥平面PAC．
（1）证明：P为ED中点；
（2）若AB=EC=2，AE=BE=

2

，证明：平面EAB⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结BD，交AC于Q，连结PQ，则直线PQ与直线BE共面于BDE，BE∥平面PAC，PQ?平面PAC，得BE∥PQ，由此能证明P是DE的中点．
（2）取AB的中点O，连接EO，CO．由题意，可得△AEB是以AB为斜边的等腰直角三角形，得EO⊥AB，再由等边三角形△ACB的高线CO=

3

，得到平方关系：EC²=EO²+CO²，得EO⊥CO，所以EO⊥平面ABCD，从而得到平面EAB⊥平面ABCD．

解答： （1）证明：连结BD，交AC于Q，连结PQ，
则直线PQ与直线BE共面于BDE，
∵BE∥平面PAC，PQ?平面PAC，
∴BE∥PQ，
∵ABCD为菱形，∴Q是BD中点，
∴P是DE的中点．
（2）取AB的中点O，连接EO，CO
∵△AEB中，AE=EB=

2

，
∴AE²+EB²=2=AB²，得△AEB为等腰直角三角形，
∴EO⊥AB，EO=1，
又∵△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°
∴△ACB是等边三角形，得CO=

3

2

AB=

3

，
又∵EC=2，∴△ECO中，EC²=4=EO²+CO²，得EO⊥CO，
∵AB、CO是平面ABCD内的相交直线，∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ABCD．

点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档题．