Question

下列四种说法
①若复数z满足方程z²+2=0，则z³=-2

2

i；
②若S₁=

∫

2 1

x²dx，S₂=

∫

2 1

1

x

dx，S₃=

∫

2 1

e^xdx，则三者的大小关系为S₃＜S₂＜S₁；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），则

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-1；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）．其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、③
• C、③④
• D、④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①由复数z满足方程z²+2=0，则z=±

2

i，可得z³=±2

2

i；
②利用微积分基本定理可得S₁=

x3

3

|

2 1

=

7

3

；S₂=lnx

|

2 1

=ln2；S₃=ex

|

2 1

=e²-e．即可比较出大小；
③由（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），令x=0，则a₀=1．令x=

1

2

，则0=a0+

a1

2

+

a2

22

+…+

an

2n

，即可得出；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是

(k+1+k)(k+1+k+1)

k+1

．

解答： 解：①若复数z满足方程z²+2=0，则z=±

2

i，∴z³=±2

2

i，因此①不正确；
②∵S₁=

∫

2 1

x²dx，∴S₁=

x3

3

|

2 1

=

7

3

；S₂=

∫

2 1

1

x

dx=lnx

|

2 1

=ln2；S₃=

∫

2 1

e^xdx=ex

|

2 1

=e²-e．
∵e2-e＞

7

3

＞ln2，∴三者的大小关系为S₃＞S₁＞S₂，因此不正确；
③由（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），令x=0，则a₀=1．令x=

1

2

，则0=a0+

a1

2

+

a2

22

+…+

an

2n

，
则

a1

2

+

a2

22

+…+

a2012

22012

=-a₁=-1，因此正确；
④用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是

(k+1+k)(k+1+k+1)

k+1

即
2（2k+1）．
其中正确的是③④．
故选：C．

点评：本题考查了复数的运算法则、微积分基本定理、二项式定理的应用、数学归纳法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．