Question

如图：已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的正方形，高AA₁=2

2

，P为CC₁的中点，AC与BD交于O点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面PBD；
（Ⅲ）求三棱锥A₁-BOP的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，要证BD⊥面A₁ACC₁，只证BD⊥AC，BD⊥AA₁即可；
（Ⅱ）利用三角形的中位线的性质证明AC₁∥OP，即可证明AC₁∥平面PBD；
（Ⅲ）证明△A₁OP为等腰三角形，利用V_A1-BOP=

1

3

S_△A1OP•OB求三棱锥A₁-BOP的体积．

解答： （Ⅰ）证明：在长方体AC₁中，∵底面ABCD是边长为4的正方形，∴对角线BD⊥AC．
又∵A₁A⊥平面ABCD，∴A₁A⊥BD．
AC∩A₁A=A，AC?面A₁ACC₁，A₁A?面A₁ACC₁；
∴BD⊥面A₁ACC₁．

（Ⅱ）证明：连接PO，则
∵点P是侧棱C₁C的中点，O是AC的中点，
∴AC₁∥OP，
∵AC₁?平面PBD，OP?平面PBD，
∴AC₁∥平面PBD；

（Ⅲ）解：∵AA₁=2

2

，AO=

2

，∴A₁O=

10

，
同样计算可得A₁P=

10

，∴△A₁OP为等腰三角形，
∵CO=CO=

2

，∴OP=2，
∴等腰三角形A₁OP的高为3，
∴V_A1-BOP=

1

3

S_△A1OP•OB=

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质及锥体的体积求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．