Question

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=2BD，M是EA的中点
（Ⅰ）判断BM与DE的位置关系，不需证明；
（Ⅱ）求证：DM∥平面ABC；
（Ⅲ）求证：平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）BM与DE是异面直线．
（Ⅱ）取AC中点N，连结MN，由已知条件推导出四边形MNBD是平行四边形，由此能证明DM∥平面ABC．
（Ⅲ）由等边三角形性质得BN⊥AC，由线面垂直得BN⊥CE，从而得BN⊥平面ACE，再由DM∥BN，能证明平面DEA⊥平面ECA．

解答： （Ⅰ）BM与DE是异面直线．
（Ⅱ）证明：取AC中点N，连结MN，
∵M是EA的中点，∴MN=

1

2

CE，且MN∥CE，
又由已知BD∥CE，且BD=

1

2

CE，
∴MN∥BD，且MN=BD，
∴四边形MNBD是平行四边形，
∴DM∥BN，又DM不包含平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅲ）∵△ABC为正三角形，N为AC的中点，∴BN⊥AC，
又CE⊥平面ABC，BN?平面ABC，∴BN⊥CE，
∵AC∩CE=C，且AC、CE?平面ACE，
∴BN⊥平面ACE，
由（Ⅱ）知DM∥BN，
∴DM⊥平面ACE，又∵DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．