Question

如图，已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，直线l的方程为x=4，过右焦点F的直线l′与椭圆交于异于左顶点A的P，Q两点，直线AP，AQ交直线l分别于点M，N．
（Ⅰ）当

AP

•

AQ

=

9

2

时，求此时直线l′的方程；
（Ⅱ）试问M，N两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）当直线PQ的斜率不存在时，推导出

AP

•

AQ

=

27

4

不满足；当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为y=k（x-1）（k≠0）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l′的方程．
（Ⅱ）AP的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)与l的方程：x=4联立得：M(4，

6y1

x1+2

)，同理得N(4，

6y2

x2+2

)，由此能推导出M，N两点的纵坐标之积为定值-9．

解答： 解：（Ⅰ）①当直线PQ的斜率不存在时，
由F（1，0）知PQ方程为x=1
代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，得P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，
又A（-2，0）∴

AP

=(3，

3

2

)，

AQ

=(3，-

3

2

)，

AP

•

AQ

=

27

4

不满足…（2分）
②当直线PQ的斜率存在时，设PQ方程为y=k（x-1）（k≠0）
代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…（3分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

…（4分）y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2(-x1-x2+x1x2+1)=

-9k2

3+4k2

AP • AQ =(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2= 27k2 3+4k2 = 9 2

，
∴k=±

6

2

，故直线l′的方程y=±

6

2

(x-1)…（6分）
（Ⅱ）AP的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)与l的方程：x=4联立得：M(4，

6y1

x1+2

)，
同理得N(4，

6y2

x2+2

)…（8分）
∴yM•yN=

6y1

x1+2

•

6y2

x2+2

=

36y1y2

x1x2+2(x1+x2)+4

①k不存在时，yM•yN=

36• 3 2 •(- 3 2 )

1+2(1+1)+4

=-9…（9分）
②k存在时，yM•yN=

- 324k2 3+4k2

4k2-12 3+4k2 + 16k2 3+4k2 +4

=-9…（12分）
∴M，N两点的纵坐标之积为定值-9…（13分）

点评：本题考查直线方程的求法，考查两点横坐标之积是否这定点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．