Question

已知双曲线C的中心在坐标原点O，其焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=2，抛物线D的顶点在原点，以x轴为对称轴，两曲线在在第一象限内相交于点A，且AF₁⊥AF₂，△AF₁F₂的面积为3
（Ⅰ）求双曲线C和抛物线D的方程；
（Ⅱ）一条直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且线段MN的中点在抛物线D上，求直线l在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，a＞0，设抛物线方程为y²=2px，p＞0，由AF₁⊥AF₂，解得a=1，p=

9 7

28

，由此能求出双曲线C和抛物线D的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x²-2kmx-（m²+3）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C的中心在坐标原点O，其焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=2，
∴

c

a

=2，∴c=2a，b=

3

a，
∴设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，a＞0，
设抛物线方程为y²=2px，p＞0，…（1分）
设A（x₀，y₀），得x₀＞0，y₀＞0，由AF₁⊥AF₂，
得

AF1

•

AF2

=0，F₁（-2a，0），F₂（2a，0）
∴（x₀+2a，y₀）•（x₀-2a，y₀）=0，
x02+y02=4a2．又

x02

a2

-

y02

3a2

=1，x₀＞0，y₀＞0，
所以x0=

7

2

a，y0=

3

2

a，…（2分）
S△AF1F2=

1

2

|F1F2|y₀=

1

2

•4a•

3

2

a=3a2=3，解得a=1．…（3分）
由于点A在抛物线上，所以y02=2px0，
（

3

2

a）²=2p•

7

2

a，解得p=

9 7

28

，…（4分）
故双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1，
抛物线D的方程为y2=

9 7

14

x．…（5分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由

y=kx+m x2- y2 3 =1

，
得（3-k²）x²-2kmx-（m²+3）=0，x2+x1=

2km

3-k2

，x1x2=

m2+3

k2-3

，…（6分）
因为直线l与双曲线的两支相交，所以x1x2=

m2+3

k2-3

＜0，
即-

3

＜k＜

3

．…（7分）
设线段MN的中点为Q（x_Q，y_Q），则xQ=

x1+x2

2

=

km

3-k2

，
yQ=

y1+y2

2

=

k

2

(x1+x2)+m=

3m

3-k2

，
因为点Q在抛物线D上，所以yQ2=

9 7

14

xQ，
即（

3m

3-k2

）²=

9 7

14

•

km

3-k2

，…（8分）
当m=0时，直线l过原点，M、N中点为原点O，在抛物线上，满足题意…（9分）
当m≠0时，m=

7

14

(3k-k3)，令t（k）=

7

14

(3k-k3)，
得t′(k)=

7

14

(3-3k2)，
由-

3

＜k≤

3

，t′（k）=0，得k=±1，
此时t（k）在（-

3

，-1]，[1，

3

）上都是减函数，在（-1，1）上为增函数 …（10分）
又t（-

3

）=0，t（

3

）=0，t（1）=

7

7

，t（-1）=-

7

7

，
-

7

7

≤m＜0或0＜m≤

7

7

．…（11分）
所以直线l在y轴上的截距m的取值范围是[-

7

7

，

7

7

]．…（12分）

点评：本题考查双曲线和抛物线的方程的求法，考查直线在y轴上的截距的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数单调性的合理运用．